Уравнять в правах науку и миф не удалось. Вопросы остались_2

Мракобес?!

А что делать?

Догматы, они по определению недоказуемы. В том суть самого слова.

Она и построена на вере. Уже лет 10 о том и речь.

О!

Это не так. Аксиомы Евклида как раз недоказуемы. Но если их вообще выбросить, и принять совершенно другие аксиомы (например, Гильберта), то из них следуют (доказуемы) аксиомы Евклида. Отметим, что тогда новый набор аксиом является недоказуемым. Аксиоматические теории являются эквивалентными, если из их аксиом доказываются те же истины. Статья приводит пример такой эквивалентности.

Понимаете, если в математике аксиома неверна- мост разваливается. А ракета не летит.

Угу. А инженерная мысль - на фантазиях.
Высшая математика, теории вроде теории струн - да, возможно, но это же только гипотезы. В отличие от церковных догматов, которые сомнению не подврегаются и множественности внутри одной религии не допускают. Кроме вашей личной религии.

Аксиома не может быть верной или неверной.
Она может быть избыточной, её может не хватать но понятие верная/неверная для аксиомы - нонсенс.
Аксиома принадлежности. Через любые две точки на плоскости можно провести прямую и притом только одну.
Если вместо неё сформулировать другую - Через любые две точки на плоскости можно провести прямые и притом только две,
то мост не развалится.
Но дело не в этом. Кроме аксиоматики есть ещё понятие адекватности применения. Адекватно ли применять эту аксиоматику в микромире? Вопрос актуальный. Попробуйте увязать её с принципом неопределённости, квантовой механикой и пр.
Но это не умаляет величественности здания планиметрии, основанной на постулатах Евклида.
Всякая аксиоматика - это гипотезы. Всякая

Развалится. Но что есть ограничительные условия для аксиом- да, есть.

Это не адекватность, это нарушение\соблюдение ограничительных условий.

Неа. на их основе - на основе аксиом - уже строятся гипотезы. Но у вас, видно, и математика- сугубо личностная, как и религия. Ничего дурного - но не стоит обощать. тут ограничительное условие - вы сами.

Пронумеровал Ваши тезисы
1. Отчего же развалится? Мост строится на Земле. Вполне резонно поверхность Земли в данном случае рассматривать как плоскость.
В такой плоскости через две точки А и Б всегда можно провести две прямые (вернее, 2 отрезка) - А -> Б и <-А Б<- (влево и вправо от А)
Если учесть, что Земля - не шар, а геоид, то в районе экватора можно говорить и о двух прямых, т.е. 4-х отрезках.
Построенный на основе этой аксиоматике мост не должен развалиться.
2. Ограничительные условия - это и есть синоним адекватности. Но адекватность - более удачный термин имхо уже хотя бы потому, что т.н. ограничительные условия не являются и не могут являться частью аксиоматики. Кроме того, адекватность - понятие количественное, а ограничительные условия - качественное.
3. Здесь чисто вопрос терминологии - мне не интересно.

Это уже ваш личный догмат. Который Вы, кстати, сомненью не подвергаете.

И мост через реку будет строится( условно) в обход ( исходя из двух отрезков)? Впрочем, не буду тут спорить - это вопрос к инженеру-проектанту, физику и математику- а Лены-Неизвестного уже нет тута. (

Почему же это? При опредленных условиях данное утверждение является аксиомой.

Не, не мой- отцов Церкви!

1. Мост будет строиться так же.
2. Аксиомы касаются модели. А ограничительные условия - применению той или иной теории, построенной на этой модели.
Аксиомы не могут касаться чего-то реального - они в принципе не проверяемы.
------------------------------------------------------------------------
Можно создать модель, содержащую аксиому "Яблоки никогда не портятся".
Можно построить и теорию, базирующуюся на данной модели.
Просто реальных яблок с таким качеством не будет. Или "портятся" будет иметь иной смысл. Или "никогда". Или всё вместе...

Да что вы! Второй пример сего стихотворенья относится к ограничительным условиям.
Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый.

модель-то можно, но яблоки испортятся все равно. Так что...

А вам шашечки или ехать? На фиг мне теория (гипотеза), которая не работает?

1. Пример именно в адекватности применения.
2. См. п.1
3. Вам она не удобна? Не применяйте. Но есть миллиарды людей, которым она может быть удобна. В этом фишка.

Нет, нет таких людей, которым может быть удобна не работающая гипотеза про яблоки.

К ограничительным условиям применения данной аксиомы. И только. Но в данных условиях она работает стопроцентно. На плоскости между двумя точками можно провести одну прямую, а две - это уже не плоскость, а шарообразное тело. А в геометрии Лобачевского...

1. А какая разница?
2. Плоскость с ненулевой кривизной м/б и другой...
Ласкера, ограничительные условия не являются частью модели.

Похоже, Вы неправильно меня поняли. Да, в статье речь идет о разных элементарных плоских геометриях (т.е. различающихся своими системами аксиом). Но все они является "плоскими" и "элементарными". Поэтому я и написал "аксиомы такой геометрии", имея в виду, что тоже "плоской" и "элементарной". (А мог бы написать "аксиомы этой геометрии", указывая на единственную названную до этого элементарную геометрию Евклида).

Но раз Вы поняли меня неправильно, значит я выразился неудачно.

Моя же реплика была о другом.

В работе приводится пример геометрии (являющейся формальной системой, а значит семантики еще нет и говорить об истинности формул языка пока нельзя), которая:

1. Плоская и элементарная (связана с "циркулем и линейкой").
2. Является теорией первого порядка.
3. Непротиворечива (найдено конечное доказательство и об этом достижении говорится в статье).


Из 2 и 3 следует (по Теореме о Существовании Модели), что такая теория обязана иметь модель, в которой исходные аксиомы гарантировано будут "истинными". Т.е., в приведенной цепочке, семантическая "истинность" аксиом последовала логически из 2 и 3. Спрашивается, как это соотносится с Вашим тезисом: "в истинность аксиом можно только верить"?

??? Это как же? Если аксиома действует только при опредленных условиях - то в других условиях она заведомом не работает. И модель следует собирать исходя из этого. А допускать проведение бесконечного числа прямых между двумя точками в геометрии плоского тела- ахинея. Точнее, не математика, а произвольное сочинение из области фэнтези.

Яблоки сгниют. И люди останутся без них. вот и всяразница.

Ласкера, вопрос применимости той или иной модели - прерогатива применяющих, а не модели.
Яблоки сгниют (если сгниют) не из-за модели, а из-за неадекватного её применения.
В принципе аксиоматика (модель) может быть банально противоречивой.
Например:
Аксиома принадлежности 1. Через любые две точки на плоскости можно провести прямую и притом только одну.
Аксиома принадлежности 2. Через любые две точки на плоскости можно провести две и только две прямые.
...
Первые две "аксиомы" взаимно исключающие и такая модель внутренне противоречивая.
К сожалению, даже семейство солидно выглядящих аксиом не гарантирует от отсутствия в модели противоречий, которые могут выявиться при обрастании её теоремами (т.е. в процессе построения теорий). Кроме того, аксиоматика может быть избыточной и/или недостаточной. Может даже обнаружиться, что то, что сотни лет считалось теоремой на самом деле - ущербно и должно быть аксиомой.
Так, к примеру, Гильберт отнёс Первый Признак Равенства Треугольников в планиметрии к аксиомам, хотя в стереометрии это теорема.
На сегодня этот злополучный Первый Признак опять претендует на теорему.
Но это всё - неважно.
Важно то, что модели могут быть удобными в применении, а могут быть и не удобными.

Математика и есть произвольные сочинения из области фэнтези.
Хотя, сочинения не совсем произвольные. Сначала полагаются произвольные постулаты а все остальное выводится из них по очень строгим правилам.

Понял. Благодарю за уточнение.

Значит так:

1. Существуют аксиоматические теории.
2. Теории состоят из слов и предложений.
3. Правильно построенная цепочка предложений называется доказательством последнего предложения.
4. Аксиомы являются первичными предложениями, в голове любой цепочки доказательств. Их доказать невозможно, они исходная точка всех доказательств данной теории.

Далее:

5. Непротиворечивые теории имеют модели -- это обязательно.

Что есть модель?

6. Модели состоят из предметов: точек, треугольников, атомов водорода, краковской колбасы.
7. В моделях нет ни аксиом, ни теорем, да и самого языка нет.
8. В моделях можно напрямую проверить истинность любого утверждения о ней. Например -- измерить и посчитать сумму углов какого-то треугольника.

Т.е. теория это совокупность некоторых высказываний. Модель теории это "физическая" вселенная, в которой эти высказывания "воплощаются".

В модели ничего никогда не доказывается. Слово "доказательство" применимо лишь к теории.

Если взять некую вселенную (модель М) и убедится напрямую, что аксиомы некоей теории Т выполняются (не доказываются, это невозможно, доказательств в моделях не существует -- а выполняются) -- то таким образом мы убеждаемся, что М является моделью Т. Вот и всё.

Я понимаю, что запутаться в понятиях модель/теория очень легко. Но скажем, теория это рецепт приготовления, и он существует лишь на языке поваренной книги. А модель -- это уже само жаркое, в котором языка нет и быть не может. Кроме телячьего.